미적분의 쓸모 - 한화택 저 - (독후감 1편, 완료) // 미적분이 무슨 의미인지 이제야 대충 알게 되었다.

미적분의 쓸모

올해에 내가 독후감을 쓴 이후에 가장 인기 있는 책은 놀랍게도 "수학의 쓸모"라는 책이었다. 왜인지 모르지만, 검색에 내 독후감이 많이 검색되는 것 같다. 어떨때는 50~60개의 검색이 되기도 하고, 70~80의 검색노출이 되기도 한다. 뭔가 내가 독후감을 잘 썼나하고 읽어봤지만, 평이하고 별 내용도 없었다. 수학의 쓸모에 나오는 수학개념을 잘 이해한 것도 아니었고, 그냥 수학이 얼마나 어려운지를 다시 깨달은 내용이었다.

수학의 쓸모를 찾았을 때, 미적분의 쓸모라는 유사한 제목을 책을 발견했고, 두 책의 저자가 같은 사람으로 알았다. 책의 형식도 비슷하고, 제목의 유사성에서도 오해의 소지가 있었다. 그런데, 두 책의 저자는 완전히 다른사람이었다. 수학의 쓸모는 미국의 대학교수, 미적분의 쓸모는 한국의 대학교수님이었다.

난 고등학교 때 문과였기 때문에 미분을 아주 조금 배우고, 적분은 아예 들어보지도 못했다. 그래서 미분과 적분이라는 얘기가 나오면 왠지 어렵게 느껴지곤 했다. 그럼에도 과학에는 관심이 많아서 상식적인 과학 지식은 찾아서 읽어보는 편이다. 뉴턴의 고전물리학에서 아인슈타인의 상대성이론으로 이어지는 내용들은 어떻게든 따라가고 있었는데, 양자역학에서는 도대체 무슨 말인지 이해하기 어려운 상황이 되었다. 인공지능의 딥러닝도 기계를 어떻게 학습시킨다는 것인지 그 과정을 이해할 수가 없다. 그래서, 왠지 수학을 모르기 때문에 이런 개념과 과정의 이해가 어려운 것이 아닐까라는 막연한 생각을 해오다가 수학에 대해서 상식으로나마 따라가보자고 생각하고 고른 책이 수학의 쓸모, 미적분의 쓸모였다.

이번 미적분의 쓸모에서는 미적분의 정의가 자주 나온다. 그 정의 중에서도 가장 쉽게 이해되는 말이 바로 미분은 "변화", 적분은 변화의 합으로 부피와 누적이라는 말이었다. 어떤 물체를 잘게 자르면 미분, 그 잘게 다른 것을 쌓아서 올리면 적분인것이다.

미적분은 뉴턴과 라이프니츠가 서로 먼저 발명했다고 주장했다고 들었다. 뉴턴은 그당시 누구도 계산하지 못했던 움직이는 물체의 속도를 미적분을 이용해서 계산해 냈다. 라이프니츠는 시간뿐아니라 공간좌표나 물리량에 따른 변화를 모두 나타낼 수 있는 일반화된 미분 체계를 고안했다.

미분은 차이의 변화량을 계산해 낼 수 있다. 변화량에 대해서는 독립변수라는 기준이 있어야 한다. 마치, 시간에 따른 속도의 변화량, 이동량, 위치에 따른 거리 등 무엇에 대한 변화량인가를 결정할 때처럼. 뉴턴은 시간의 흐름에 따른 행성의 위치변화를 통해서 행성의 속도를 구하고, 미분의 합산을 통해서 행성의 이동경로를 계산해 내었을 것이다. 아직도 미분을 통해서 행성의 속도를 계산해 내는 방식은 이해가 가지만, 행성의 이동경로를 어떻게 계산해 냈는지는 모르겠다.

우리의 일상생활에서는 이런 미분과 적분이 무수히 많이 사용되고 있다. 내가 항상 걸리고 억울해하는 과속카메라도 미분을 이용해서 시간변화에 따른 위치변화율을 통해서 과속여부를 판단하고, 기준이상의 속도인 차를 사진으로 찍는다. 놀랍게도 나의 속도가 계산되는 곳은 카메라 옆이 아니라 내 차의 바퀴 아래였다. 카메라 바로 앞에서의 속도만을 맞추려고 했었는데, 그래도 큰 문제는 없었지만, 카메라 전에 나의 순간 속도는 이미 찍혀있는 것이었다.

스페이스 X의 발사체가 다시 돌아와서 재활용하는 데에도 미적분을 통한 발사체의 이동경로를 계산이 필요하다. 세상의 모든 일에는 미적분이 사용되고 있다. 애니메이션을 자연스럽게 만드는 CG에도 미적분은 사용되고 있었고, 미적분의 도함수를 이용한 자연스러운 움직임을 만들어낸다.

이 책은 미분과 적분을 기준으로 많은 사회현상들을 설명해준다. 사회에서 미적분을 통해서 돌아가고 있는 상황들을 하나 하나 찝어서 보여준다. 이런데도 미적분이 쓰이는 것이었나? 를 계속 되묻게 된다. 그런데, 미분과 적분의 개념은 어렴풋하게 이해가 되나, 아직도 미적분을 어떻게 사용하는지는 이해를 못하겠다. 훨씬 기본적인 지식이 부족하게 느껴지는 책이다. 읽고 나서도 정리가 잘 안된다. 다음에 다시 읽어봐야 할 책이다.

 

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속력(Speed)과 속도(Velocity) : 방향에 관계없이 크기만 가지고 있는 값(-스칼라) = 속력, 속력이라는 크기와 방향을 가진 값(-벡터) = 속도.

미분을 간단하게 한단어로 정의하면 '변화'다. 즉 가속도는 속도의 변화고 속도는 위치의 변화다. (P20)

기본적으로 변화는 셋 중 하나다. 증가하는 경우와 감소하는 경우 그리고 변화하지 않는 경우다. (P24)

X축을 중심으로 회전하는 것을 롤링, Y축을 중심으로 회전하는 것을 피칭, Z축을 중심으로 회전하는 것을 요잉이라 한다. (P52)

뉴턴과 라이프니츠가 발전시킨 미적분 역시 정확한 정의나 증명 없이 오랫동안 여러 분야에서 활용되다가, 코시를 만나면서 비로소 학분적 토대를 마련하게 되었다. 이후 미적분을 이용하여 분제를 푸는 학문을 우리가 잘 아는 미적분학이라 부르고, 미적분학을 엄밀하게 증명하고 토대를 세우는 학문을 해석학이라 부른다. (P70)

사람과 컴퓨터는 사고하는 방식이 다르기 때문에 문제 유형에 따라서 인식되는 난이도 역시 전혀 다르다. ~~~ 딥러닝이 급속하게 발전하게 된 것은 다음 세가지 문제가 해결되었기 때문이라 할 수 있다. 고속연산 작업이 가능한 하드웨어, 빅데이터 그리고 손실함수를 최소화하는 최적화 알고리즘이다. (P118)

결국 미분이란 잘게 나눈다는 뜻으로, 시간으로 나누어 순간변화율을 구하거나 공간으로 쪼개서 기울기를 구할 수 있다. 반대로 적분은 합친다는 뜻인데, 시간에 따른 누적량을 구할 수도 있고 공간적으로 합쳐서 부피를 구할 수도 있다. (P140)

대상 물체를 따라가면서 관찰하는 라그랑주 방법이 더 익숙하다. ~~~ 반면에 오일러 방법에 따르면 눈을 특정한 대상 물체가 아니라 공간 한곳에 고정해놓고 현상의 움직임을 관찰한다. (P182)

CG 장면을 현실감 있게 연출하기 위해 내부의 전체적인 유동은 기존의 전산유체역학을 통해 구하고, 작은 스케일의 난류 부서짐이나 표면 현상은 딥러닝을 통해서 구하는 하이브리드 방법을 사용하는 것이 요즘 추세이기도 하다. 거기에 그림자나 조명, 반사 등 시각적인 요소들을 외부에서 가져와 더욱 사실적으로 표현한다. (P186)